O sumach długości i długościach sumy

Tym razem nieco matematyki. Udowodnimy następującą hipotezę: Mając dwa równoległe do siebie wektory, suma ich długości jest równa długości ich sumy. Hipoteza wydaje się być intuicyjna i właściwie wystarczy narysować sobie dwa wektory równoległe na kartce, by zauważyć, że rzeczywiście nie ma znaczenia, czy dodajemy ich długości od razu (lewa strona obrazka), czy najpierw tworzymy…

Wyprowadzenie prawa Archimedesa

Wszyscy dobrze znamy treść prawa Archimedesa: Nowa siła ciężkości zanurzonego w cieczy ciała jest równa ciężarowi tego ciała w powietrzu, pomniejszonemu o ciężar wypartej cieczy. Sprawdzimy, czy jesteśmy tak mądrzy jak Grecy dwa tysiące lat temu, i czy w razie nagłego braku Greków, bylibyśmy w stanie wyprowadzić sobie to prawo sami. 1. Rozkład ciśnienia w…

Wszystko, co potrzebujesz wiedzieć o matematyce wyższej, zanim zaczniesz czytać trudne książki, cz. 2.2. – całki

Jeśli mieliście już nieco styczności z całkami, na przykład na licealnej fizyce, mogliście słyszeć, że: Całka z pewnej funkcji to pole pod wykresem tej funkcji. Spróbujmy udowodnić, że rzeczywiście tak jest, wykorzystując to, co wiemy już o Różniczkach i całkach z Różniczek. Na dobry początek narysowaliśmy wykres funkcji . Zaznaczyliśmy też pewne dwa punkty na…

O matematyce i filozofii nieskończoności

Narysowałam nieskończenie wiele kropek: i każdej z nich przypisałam liczbę naturalną od do (w chaotycznie dowolnej kolejności). Nie patrząc teraz na przypisane liczby, wybieram dowolną kropkę: i w myśli wybieram jakąś liczbę naturalną od do . Powiedzmy . Jakie jest prawdopodobieństwo, że wybrana przeze mnie liczba znajdzie się pod wybraną przeze mnie kropką? Mając liczb…

Wyznaczenie modułu Younga makaronu

1. Moduł Younga? Jeśli pamiętacie z fizyki, wzór na siłę sprężystości wygląda tak: , gdzie to przemieszczenie z położenia równowagi, a to stała sprężystości. Na fizyce wzór ten stosowano do wszelkiego rodzaju sprężyn czy lin. Jednakże pan Hooke zapostulował kiedyś, że każdy materiał wykazuje pewne własności sprężynowe, to znaczy jeśli go ‚nieco’ ścisnąć, czy rozciągnąć,…

Wszystko, co potrzebujesz wiedzieć o matematyce wyższej, zanim zaczniesz czytać trudne książki, cz. 2.1. – całki

Aby dobrze zrozumieć ten post, przeczytaj wcześniej: Cz. 1 – różniczki 0. Wstępne uwagi do części o całkach Po przeczytaniu i zrozumieniu części 2, dotyczącej całek, będziesz umiał obliczyć ‚od razu’ niektóre bardzo proste całki. Nie poznasz jednak teorii, która mówi jak je liczyć z definicji, ale nauczysz się używać pewnej logiki/intuicji. Część ta ma…

Wszystko, co potrzebujesz wiedzieć o matematyce wyższej, zanim zaczniesz czytać trudne książki, cz. 1 – różniczki

1. Na początku była Delta Z kursu fizyki gimnazjalnej powinniśmy pamiętać czym jest znak . Pojawia się on już chociażby w opisie ruchu przyspieszonego lub opóźnionego we wzorze na przyspieszenie: (1.1.) Wiemy przecież, że przyspieszenie to zmiana prędkości w czasie, czyli miara przyrostu albo zmniejszenia się prędkości w miarę przyrostu czasu. Inaczej mówiąc, przyspieszenie opisuje…

Rurka Pitota

Jeśli oglądaliście kiedyś Katastrofy W Przestworzach zapewne wiecie czym jest rurka Pitota. Jeśli nie, polecam obejrzenie ósmego odcinka piątego sezonu, którego to rurka Pitota była szczególnym gościem. Możecie też przeczytać na Wikipedii o katastrofie lotu Birgenair 301 . W tym poście wyjaśnimy czym jest i jak działa rurka Pitota, pozycja numer 13 na Liście Moich…

O soli i mrozie, czyli o tym jak drogownictwo wykorzystuje fizykę*

* Co bywa nieco zdumiewające. Wszyscy widzieliśmy piękne, niepokryte śniegiem i lodem drogi w czasie zimy… Wszyscy wiemy też, że aby takie były należy regularnie posypywać je solą. Samochodom i moim butom się to nie podoba. W tym poście zobaczycie jakie fizyczne mądrości wykorzystują panowie posypujące drogi solą. (Możecie też zapytać ich samych.) 1. Zacznijmy…

O czasie i entropii oraz o Książkach nieco

Chodzenie do kościoła bywa wielce stymulującą czynnością. A rację przyznałby mi również Galileusz, który to czas w kościołach niezwykle produktywnie spędzał. Zmierzył razu pewnego okres drgania wahadła (ściśle żyrandolu), używając własnego pulsu (Ależ musiał mieć niewzruszone serce!). Odkrył wtedy, że jest ów interwał czasowy taki sam, mimo iż żyrandol wychyla się raz bardziej, raz mniej.…

A teraz coś z zupełnie innej beczki…

Pragnę przedstawić kilka ślicznych zdań z języka angielskiego. Najlepiej smakują z brytyjskim akcentem. Tłumaczenia oddają zbliżoną, acz nie identyczną treść. As the day wore on… ~ Gdy mijał dzień… Possess your soul in patience. ~ Bądź cierpliwy. (dosłownie: trzymaj swą duszę w cierpliwości) Hold your horses! ~ Poczekaj! / Wstrzymaj się! (dosłownie: zatrzymaj konie) A…

Jak działa żarówka?

Spróbujmy wymyślić, jak działa żarówka na poziomie cząstek elementarnych! Jednymi słowy, sprawdźmy co emituje fotony i dlaczego. Przeprowadźmy następujące doświadczenie: popatrzmy na świecącą żarówkę (aaał). Zobaczymy wówczas, że świecącym elementem jest cienki drucik umieszczony w środku obudowy. Teraz możemy wykorzystać czas, gdy przez kilka minut będziemy oślepieni, na wyjaśnienia. Przez drut na który spojrzeliśmy płynie…

Łodzie z… betonu?

Obliczymy jaka może być maksymalna ilość betonu w łodzi, aby ta mogła pływać. Aby rzecz pływała jej średnia gęstość musi być mniejsza od gęstości wody, która wynosi w przybliżeniu: Jeśli nasza łódź będzie złożona jedynie z betonu i powietrza, to jej masę możemy zapisać: a jej objętość: , gdzie indeksy b i p to odpowiednio…

O zmianie natężenia światła

Przeczytałam niedawno u Asimova, że natężenie światła maleje z kwadratem odległości. Zastanawiałam się, co jest takiego ciekawego w fotonach, że mogą się rozproszyć na pustej przestrzeni? Okazuje się, że nic nadzwyczajnego w fotonach, a w geometrii tylko. Rzecz nie wydaje się już taka niezrozumiała, jeśli sobie poglądowo rozrysujemy problem: Widać stąd, że na tę samą…

Wszystko powstało w Wielkim Wybuchu

Wszystko powstało w Wielkim Wybuchu. Dwuwymiarowa płaszczyzna o niewyobrażalnej gęstości, zaczęła się nagle rozrastać w wykładniczym tempie. Wszechświat powiększał swoją objętość, tworząc nową przestrzeń i utrzymując stałą ilość materii w swoim wnętrzu. W trakcie olbrzymiej inflacji, pierwotna plazma, o bardzo małych nieregularnościach, układała się w rozróżnialne, ziarniste skupiska materii, które stale oddalały się od siebie.…

Astronomiczne rozmaitości

Nie sposób nie ulec zachwytowi nad tym, jak wiele o astronomii wiedzieli starożytni. Sumerowie chociażby (zamieszkiwali ponoć tereny obecnego Iraku), jako pierwsi obserwowali ‚planety’ już pięć tysięcy lat temu. Za planety uważano wówczas wszystkie zauważalnie poruszające się obiekty na niebie, zatem najważniejszą planetą było Słońce, drugą ważną był Księżyc. Najdalej trzy godziny po zachodzie słońca…

Doświadczenie z kartkami, czyli wstęp do prawa Bernoulliego

To bardzo często pokazywane doświadczenie na lekcjach fizyki, czy w podręcznikach. Jest też proste do wykonania: należy wziąć dwie kartki papieru, oddalić je od siebie na około 4 cm i dmuchnąć pomiędzy nie. Spójrzmy co można wówczas zaobserwować. 1. Przed dmuchnięciem: 2. W trakcie dmuchania (tym razem suszarką): Wykorzystajmy nieco naszej wiedzy o cząsteczkach gazów…

Dlaczego okulary zaparowują?

Aby dobrze zrozumieć ten artykuł, przeczytaj wcześniej: Dlaczego w zimie wysusza się nam skóra? Okulary zaparowują na przykład kiedy w zimowy dzień wchodzimy z zewnątrz do ciepłego pomieszczenia. Wówczas nasze okulary są zimne, a powietrze wewnątrz pomieszczenia ciepłe. Takie ciepłe powietrze najprawdopodobniej zawiera stosowną dla swojej temperatury ilość wilgoci (a więc unoszących się w nim…